Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{6})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2})$

Étape 3.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 2}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 2}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\cos (\frac{3 \cdot π + π \cdot 2}{12})$

Étape 5.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\cos (\frac{3 π + 2 \cdot π}{12})$

Étape 5.3

Additionnez $3 π$ et $2 π$ .

$\cos (\frac{5 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 6.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Étape 6.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 6.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.25881904 \dots$