Trigonométrie Exemples

$1 = 8 \cos (x + 1) - 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $8 \cos (x + 1) - 3 = 1$ .

$8 \cos (x + 1) - 3 = 1$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (x + 1)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$8 \cos (x + 1) = 1 + 3$

Étape 2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$8 \cos (x + 1) = 4$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $8 \cos (x + 1) = 4$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $8 \cos (x + 1) = 4$ par $8$ .

$\frac{8 \cos (x + 1)}{8} = \frac{4}{8}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cos (x + 1)}{8} = \frac{4}{8}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\cos (x + 1)$ par $1$ .

$\cos (x + 1) = \frac{4}{8}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\cos (x + 1) = \frac{4 (1)}{8}$

Étape 3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\cos (x + 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x + 1) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x + 1) = \frac{1}{2}$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x + 1 = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x + 1 = \frac{π}{3}$

Étape 6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{3} - 1$

Étape 7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x + 1 = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x + 1 = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 8.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x + 1 = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x + 1 = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x + 1 = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 8.1.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x + 1 = \frac{5 π}{3}$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = \frac{5 π}{3} - 1$

Étape 9

Déterminez la période de $\cos (x + 1)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10

La période de la fonction $\cos (x + 1)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} - 1 + 2 π n, \frac{5 π}{3} - 1 + 2 π n$ , pour tout entier $n$