Trigonométrie Exemples

$z = 3 - 4 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 3$ et $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 3^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 3^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 9}$

Étape 4.3

Additionnez $16$ et $9$ .

$| z | = \sqrt{25}$

Étape 4.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2}}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 5$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{3})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{- 4}{3}$ produit un angle dans le quatrième quadrant, la valeur de l’angle est $- 0.92729521$ .

$θ = - 0.92729521$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = - 0.92729521$ et $| z | = 5$ .

$5 (\cos (- 0.92729521) + i \sin (- 0.92729521))$

Étape 8

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$z = 5 (\cos (- 0.92729521) + i \sin (- 0.92729521))$