Trigonométrie Exemples

$1 - \sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sin (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = \frac{1}{2} - 1$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sin (x) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \sin (x) = \frac{1 - 2}{2}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Étape 2.3.2

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Étape 5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$