Trigonométrie Exemples

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \tan (x))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.4.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\cos (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Étape 2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\cos (x) + \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\cos (x) + \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Étape 4.2

Pour écrire $\cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\cos (x)}$ comme $\sec (x)$ .

$\sec (x)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x) (\cot (x) + \tan (x)) = \sec (x)$ est une identité