Trigonométrie Exemples

$\tan (105)$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $105$ peut être divisé en $45 + 60$ .

$\tan (45 + 60)$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{1 + \tan (60)}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\tan (60)$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (45) \tan (60)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (60)}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (60)}$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\tan (60)$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}$

Étape 4.4

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ par $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}$

Étape 6.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Élevez $1 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 7.2

Élevez $1 + \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1} {(1 + \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Étape 8

Réécrivez ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 9

Développez $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.1.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.1.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}$

Étape 10.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}$

Étape 10.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}$

Étape 10.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Étape 10.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 10.3

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 11

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $- 2$ .

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 11.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$

Étape 12

Réécrivez $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ comme $- (2 + \sqrt{3})$ .

$- (2 + \sqrt{3})$

Étape 13

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}$

Étape 14

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 - \sqrt{3}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$- 3.73205080 \dots$