Trigonométrie Exemples

${(1 + i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{4} + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1^{3} i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 \cdot 1 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot 1^{2} i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 i + 6 \cdot 1 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$1 + 4 i + 6 i^{2} + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 i + 6 \cdot - 1 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.7

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 \cdot 1 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.9

Factorisez $i^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 + 4 i - 6 + 4 (- i) + i^{4}$

Étape 2.1.12

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + i^{4}$

Étape 2.1.13

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.13.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(i^{2})}^{2}$

Étape 2.1.13.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.13.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 + 4 i - 6 - 4 i + 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $6$ de $1$ .

$- 5 + 4 i - 4 i + 1$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 5$ et $1$ .

$- 4 + 4 i - 4 i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $4 i$ de $4 i$ .

$- 4 + 0$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 4$ et $0$ .

$- 4$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 4$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16}$

Étape 6.3

Additionnez $0$ et $16$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Étape 6.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Étape 6.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 4$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 4})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{- 4}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $π$ .

$θ = π$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = π$ et $| z | = 4$ .

$4 (\cos (π) + i \sin (π))$