Trigonométrie Exemples

tan (3 x) = 1

$\tan (3 x) = 1$

Étape 1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur de la tangente.

3 x = arctan (1)

$3 x = \arctan (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de

arctan (1)

$\arctan (1)$ est

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ .

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$ par

3

$3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans

3 x = \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π}{4}$ par

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez

x

$x$ par

1

$1$ .

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez

\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ par

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

x = \frac{π}{4 \cdot 3}

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez

4

$4$ par

3

$3$ .

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

x = \frac{π}{12}

$x = \frac{π}{12}$

Étape 4

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

3 x = π + \frac{π}{4}

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 5

Résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Pour écrire

π

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.1.2

Associez

π

$π$ et

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 5.1.4

Additionnez

π \cdot 4

$π \cdot 4$ et

π

$π$ .

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Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre

π

$π$ et

4

$4$ .

3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 5.1.4.2

Additionnez

4 \cdot π

$4 \cdot π$ et

π

$π$ .

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par

3

$3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans

3 x = \frac{5 \cdot π}{4}

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par

3

$3$ .

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de

3

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez

x

$x$ par

1

$1$ .

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez

\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez

\frac{5 π}{4}

$\frac{5 π}{4}$ par

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Étape 5.2.3.2.2

Multipliez

4

$4$ par

3

$3$ .

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

x = \frac{5 π}{12}

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 6

Déterminez la période de

tan (3 x)

$\tan (3 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$ .

\frac{π}{| b |}

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez

b

$b$ par

3

$3$ dans la formule pour la période.

\frac{π}{| 3 |}

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

3

$3$ est

3

$3$ .

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$

Étape 7

La période de la fonction

tan (3 x)

$\tan (3 x)$ est

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier

n

$n$