Trigonométrie Exemples

$3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 1$

Étape 1

Utilisez l’identité pour résoudre l’équation. Dans cette identité, $θ$ représente l’angle créé en reportant le point $(a, b)$ sur un graphe et peut donc être trouvé en utilisant $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ où $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ et $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Étape 2

Définissez l’équation pour déterminer la valeur de $θ$ .

$\tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Étape 3

Prenez la tangente inverse pour résoudre l’équation pour $θ$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \tan^{-1} (- \frac{3}{3})$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \tan^{-1} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\tan^{-1} (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 4

Résolvez pour déterminer la valeur de $R$ .

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Étape 4.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{9 + {(- 3)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$R = \sqrt{9 + 9}$

Étape 4.3

Additionnez $9$ et $9$ .

$R = \sqrt{18}$

Étape 4.4

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$R = \sqrt{9 (2)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$R = \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$R = 3 \sqrt{2}$

Étape 5

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$(3 \sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ par $3 \sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ par $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Étape 6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $\sin (x - \frac{π}{4})$ par $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 6.3.2.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 6.3.2.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 6.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 6.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2^{1}}$

Étape 6.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{3 \cdot 2}$

Étape 6.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{6}$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

Évaluez $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{6})$ .

$x - \frac{π}{4} = 0.23794112$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 0.23794112 + \frac{π}{4}$

Étape 9.2

Additionnez $0.23794112$ et $\frac{π}{4}$ .

$x = 1.02333928$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x - \frac{π}{4} = (3.14159265) - 0.23794112$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Soustrayez $0.23794112$ de $3.14159265$ .

$x - \frac{π}{4} = 2.90365152$

Étape 11.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.2.1

Ajoutez $\frac{π}{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2.90365152 + \frac{π}{4}$

Étape 11.2.2

Additionnez $2.90365152$ et $\frac{π}{4}$ .

$x = 3.68904969$

Étape 12

Déterminez la période de $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 12.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13

La période de la fonction $\sin (x - \frac{π}{4})$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.02333928 + 2 π n, 3.68904969 + 2 π n$ , pour tout entier $n$