Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

Étape 1

Pour écrire $\frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Étape 2

Pour écrire $\frac{π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{π}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Étape 3.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\cos (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\cos (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

Étape 5.2

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\cos (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

Étape 5.3

Additionnez $3 π$ et $4 π$ .

$\cos (\frac{7 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\cos (\frac{7 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Étape 6.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 6.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Étape 6.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 6.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 6.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 6.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 6.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Étape 6.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Étape 6.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Étape 6.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 6.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.25881904 \dots$