Trigonométrie Exemples

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\tan (2 x)$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double de la tangente.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Étape 3

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 3.1

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

Étape 3.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $2$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ comme ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 4.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 4.2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 4.2.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Étape 4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

Étape 4.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

Étape 4.4.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

Étape 4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

Étape 4.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

Étape 4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Étape 4.6

Associez.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à ${\cos (x)}^{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ comme $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ est une identité