Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{11 π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $\frac{11 π}{12}$ peut être divisé en $\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour le cosinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\cos (A + B) = - (\cos (A) \cos (B) + \sin (A) \sin (B))$ .

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$\cos (\frac{π}{4}) \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{2 π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \cos (\frac{π}{3})) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (- \frac{1}{2}) - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \sin (\frac{π}{4}) \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 4.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{2 π}{3})$

Étape 4.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{3})$

Étape 4.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.8

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - \sqrt{6}}{4}$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})}{4}$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{2}) - (\sqrt{6})$ .

$\frac{- (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.1

Réécrivez $- (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ comme $- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}$

Étape 5.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.96592582 \dots$