Trigonométrie Exemples

$\tan (15)$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $15$ peut être divisé en $60 - 45$ .

$\tan (60 - 45)$

Étape 2

Utilisez la formule de la différence pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{\tan (60) - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\tan (60)$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \tan (45)}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \tan (60) \tan (45)}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\tan (60)$ est $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \tan (45)}$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Étape 5.3

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ par $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Étape 7

Associez les fractions.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}}$ par $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Étape 7.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 7.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3}$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 8.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- \sqrt{3}) - 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 8.5

Élevez $1 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 8.6

Élevez $1 - \sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1})}{- 2}$

Étape 8.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Étape 8.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 {(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Étape 9

Réécrivez ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{- 1 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 10

Développez $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{- 1 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 11.1.2

Multipliez $- \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 11.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 11.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 11.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{- 2}$

Étape 11.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})}{- 2}$

Étape 11.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})}{- 2}$

Étape 11.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 11.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}{- 2}$

Étape 11.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{- 2}$

Étape 11.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Étape 11.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})}{- 2}$

Étape 11.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1})}{- 2}$

Étape 11.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 1 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3)}{- 2}$

Étape 11.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{- 1 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 11.3

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 (4 - 2 \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 12

Annulez le facteur commun à $4 - 2 \sqrt{3}$ et $- 2$ .

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Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (4 - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - \sqrt{3}))}{- 2}$

Étape 12.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 1 (2 - \sqrt{3})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Étape 13

Réécrivez $- 1 \cdot (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ comme $- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$ .

$- (- 1 (2 - \sqrt{3}))$

Étape 14

Appliquez la propriété distributive.

$- (- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Étape 15

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- (- 2 - 1 (- \sqrt{3}))$

Étape 16

Multipliez $- 1 (- \sqrt{3})$ .

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Étape 16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- (- 2 + 1 \sqrt{3})$

Étape 16.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$- (- 2 + \sqrt{3})$

Étape 17

Appliquez la propriété distributive.

$- - 2 - \sqrt{3}$

Étape 18

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 - \sqrt{3}$

Étape 19

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$0.26794919 \dots$