Trigonométrie Exemples

sec (θ) = - 2

$\sec (θ) = - 2$

Étape 1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

sec (θ) = \frac{hypoténuse}{adjacent}

$\sec (θ) = \frac{hypoténuse}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

Opposé = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}

$Opposé = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

Opposé = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}

$Opposé = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

Opposé

= \sqrt{4 - {(- 1)}^{2}}

$= \sqrt{4 - {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

{(- 1)}^{2}

${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

1

$1$ .

Opposé

= \sqrt{4 + (- 1) {(- 1)}^{2}}

$= \sqrt{4 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

Étape 4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Opposé

= \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}

$= \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Opposé

= \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}

$= \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Étape 4.2.2

Additionnez

1

$1$ et

2

$2$ .

Opposé

= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}

$= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}$

Opposé

= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}

$= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}$

Étape 4.3

Élevez

- 1

$- 1$ à la puissance

3

$3$ .

Opposé

= \sqrt{4 - 1}

$= \sqrt{4 - 1}$

Étape 4.4

Soustrayez

1

$1$ de

4

$4$ .

Opposé

= \sqrt{3}

$= \sqrt{3}$

Opposé

= \sqrt{3}

$= \sqrt{3}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de

sin (θ)

$\sin (θ)$ .

sin (θ) = \frac{opp}{hyp}

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de

cos (θ)

$\cos (θ)$ .

cos (θ) = \frac{adj}{hyp}

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

cos (θ) = \frac{- 1}{2}

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

cos (θ) = - \frac{1}{2}

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

cos (θ) = - \frac{1}{2}

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de

tan (θ)

$\tan (θ)$ .

tan (θ) = \frac{opp}{adj}

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{- 1}

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de

tan (θ)

$\tan (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de

\frac{\sqrt{3}}{- 1}

$\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

tan (θ) = - 1 \cdot \sqrt{3}

$\tan (θ) = - 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 7.3.2

Réécrivez

- 1 \cdot \sqrt{3}

$- 1 \cdot \sqrt{3}$ comme

- \sqrt{3}

$- \sqrt{3}$ .

tan (θ) = - \sqrt{3}

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

tan (θ) = - \sqrt{3}

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

tan (θ) = - \sqrt{3}

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de

cot (θ)

$\cot (θ)$ .

cot (θ) = \frac{adj}{opp}

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

cot (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}

$\cot (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de

cot (θ)

$\cot (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

cot (θ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}

$\cot (θ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Multipliez

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ par

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

cot (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})

$\cot (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 8.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.3.1

Multipliez

\frac{1}{\sqrt{3}}

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ par

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.2

Élevez

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à la puissance

1

$1$ .

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.3

Élevez

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à la puissance

1

$1$ .

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.3.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.3.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.3.6

Réécrivez

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

3

$3$ .

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Étape 8.3.3.6.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ comme

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.3.6.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 8.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 8.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de

csc (θ)

$\csc (θ)$ .

csc (θ) = \frac{hyp}{opp}

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de

csc (θ)

$\csc (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ par

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez

\frac{2}{\sqrt{3}}

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ par

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à la puissance

1

$1$ .

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ à la puissance

1

$1$ .

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez

{\sqrt{3}}^{2}

${\sqrt{3}}^{2}$ comme

3

$3$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ comme

3^{\frac{1}{2}}

$3^{\frac{1}{2}}$ .

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

cos (θ) = - \frac{1}{2}

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

tan (θ) = - \sqrt{3}

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}

$\cot (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

sec (θ) = - 2

$\sec (θ) = - 2$

csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$