Trigonométrie Exemples

sin (2 x) - sin (x) = 0

$\sin (2 x) - \sin (x) = 0$

Étape 1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

2 sin (x) cos (x) - sin (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2

Factorisez

sin (x)

$\sin (x)$ à partir de

2 sin (x) cos (x) - sin (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez

sin (x)

$\sin (x)$ à partir de

2 sin (x) cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

sin (x) (2 cos (x)) - sin (x) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez

sin (x)

$\sin (x)$ à partir de

- sin (x)

$- \sin (x)$ .

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) \cdot - 1 = 0

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3

Factorisez

sin (x)

$\sin (x)$ à partir de

sin (x) (2 cos (x)) + sin (x) \cdot - 1

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

sin (x) (2 cos (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

sin (x) (2 cos (x) - 1) = 0

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 4

Définissez

sin (x)

$\sin (x)$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 4.1

Définissez

sin (x)

$\sin (x)$ égal à

0

$0$ .

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez

sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du sinus.

x = arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de

arcsin (0)

$\arcsin (0)$ est

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

x = π - 0

$x = π - 0$

Étape 4.2.4

Soustrayez

0

$0$ de

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de

sin (x)

$\sin (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction

sin (x)

$\sin (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 5

Définissez

2 cos (x) - 1

$2 \cos (x) - 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.1

Définissez

2 cos (x) - 1

$2 \cos (x) - 1$ égal à

0

$0$ .

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez

2 cos (x) - 1 = 0

$2 \cos (x) - 1 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans

2 cos (x) = 1

$2 \cos (x) = 1$ par

2

$2$ .

\frac{2 cos (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez

$\cos (x)$ par

$1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de

$\arccos (\frac{1}{2})$ est

$\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6

Simplifiez

$2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.2.6.1

Pour écrire

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.2.1

Associez

$2 π$ et

$\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.3.1

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 5.2.6.3.2

Soustrayez

$π$ de

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de

$\cos (x)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez

$2 π$ par

$1$ .

$2 π$

Étape 5.2.8

La période de la fonction

$\cos (x)$ est

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$\sin (x) (2 \cos (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$

Étape 7

Consolidez

$2 π n$ et

$π + 2 π n$ en

$π n$ .

$x = π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

$n$