Trigonométrie Exemples

\sin (\frac{3 π}{8})

$\sin (\frac{3 π}{8})$

Étape 1

Réécrivez

\frac{3 π}{8}

$\frac{3 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par

2

$2$ .

\sin (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})

$\sin (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$

Étape 3

Remplacez le

\pm

$\pm$ par

+

$+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$

Étape 4

Simplifiez

\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 4.2

La valeur exacte de

\cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.3

Multipliez

- - \frac{\sqrt{2}}{2}

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

1

$1$ .

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.4

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.7

Multipliez

\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.7.1

Multipliez

\frac{2 + \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.7.2

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 4.8

Réécrivez

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.9.1

Réécrivez

4

$4$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Forme décimale :

0.92387953 \dots

$0.92387953 \dots$