Trigonométrie Exemples

sin (\frac{11 π}{12})

$\sin (\frac{11 π}{12})$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas,

\frac{11 π}{12}

$\frac{11 π}{12}$ peut être divisé en

\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}

$\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

sin (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})

$\sin (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour le sinus pour simplifier l’expression. La formule stipule que

sin (A + B) = sin (A) cos (B) + cos (A) sin (B)

$\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

sin (\frac{2 π}{3}) cos (\frac{π}{4}) + cos (\frac{2 π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 3

Supprimez les parenthèses.

sin (\frac{2 π}{3}) cos (\frac{π}{4}) + cos (\frac{2 π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{2 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

sin (\frac{π}{3}) cos (\frac{π}{4}) + cos (\frac{2 π}{3}) sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.2

La valeur exacte de

$\sin (\frac{π}{3})$ est

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.3

La valeur exacte de

$\cos (\frac{π}{4})$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4

Multipliez

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ par

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4.3

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.4.4

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (\frac{2 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.6

La valeur exacte de

$\cos (\frac{π}{3})$ est

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Étape 4.7

La valeur exacte de

$\sin (\frac{π}{4})$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.8

Multipliez

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.8.1

Multipliez

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.8.2

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$0.25881904 \dots$