Trigonométrie Exemples

$\tan (75)$

Étape 1

Commencez par diviser l’angle en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues. Dans ce cas, $75$ peut être divisé en $30 + 45$ .

$\tan (30 + 45)$

Étape 2

Utilisez la formule de la somme pour la tangente pour simplifier l’expression. La formule stipule que $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\tan (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\tan (45)$ est $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{3} + 3}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} + 3}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ par $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Étape 8.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez

$(\sqrt{3} + 3) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.5

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)}$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + 3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Étape 8.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.4.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun à $3 \sqrt{3} + 3$ et $6$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.5.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.5.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 9.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 10

Simplifiez les termes.

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Étape 10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.2

Additionnez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 + 3 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun à $4 + 2 \sqrt{3}$ et $2$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 10.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Étape 10.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Étape 10.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Étape 10.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 10.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Étape 10.4.4.4

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 + \sqrt{3}$

Forme décimale :

$3.73205080 \dots$