Trigonométrie Exemples

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ comme $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 2.2

Développez $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $\cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Étape 2.3.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Étape 2.3.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Étape 2.3.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2.3.3

Additionnez $\cos (x) \sin (x)$ et $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)$

Étape 2.4

Déplacez $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x)$

Étape 2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (x)$ et $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x))$

Étape 2.6.2

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Étape 2.6.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 + \sin (2 x)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = 1 + \sin (2 x)$ est une identité