Trigonométrie Exemples

tan (\frac{π}{8})

$\tan (\frac{π}{8})$

Étape 1

Réécrivez

\frac{π}{8}

$\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par

2

$2$ .

tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})

$\tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

\pm \sqrt{\frac{1 - cos (\frac{π}{4})}{1 + cos (\frac{π}{4})}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 3

Remplacez le

\pm

$\pm$ par

+

$+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{π}{4})}{1 + cos (\frac{π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 4

Simplifiez

\sqrt{\frac{1 - cos (\frac{π}{4})}{1 + cos (\frac{π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Étape 4.1

La valeur exacte de

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{π}{4})}}

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 4.2

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{π}{4})}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + cos (\frac{π}{4})}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 4.4

La valeur exacte de

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ est

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.5

Écrivez

1

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.8.1

Annulez le facteur commun.

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 4.8.2

Réécrivez l’expression.

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Étape 4.9

Multipliez

\frac{1}{2 + \sqrt{2}}

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par

\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Étape 4.10

Multipliez

\frac{1}{2 + \sqrt{2}}

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ par

\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Étape 4.11

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 4.12

Simplifiez

\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.13

Appliquez la propriété distributive.

\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.14

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.14.1

Annulez le facteur commun.

\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.14.2

Réécrivez l’expression.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.15

Associez

\frac{2 - \sqrt{2}}{2}

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ et

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.16

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.16.1

Appliquez la propriété distributive.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.16.2

Multipliez

- \sqrt{2} \sqrt{2}

$- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 4.16.2.1

Élevez

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ à la puissance

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Étape 4.16.2.2

Élevez

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ à la puissance

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Étape 4.16.2.3

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Étape 4.16.2.4

Additionnez

1

$1$ et

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Étape 4.16.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.16.3.1

Réécrivez

{\sqrt{2}}^{2}

${\sqrt{2}}^{2}$ comme

2

$2$ .

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Étape 4.16.3.1.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ comme

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Étape 4.16.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Étape 4.16.3.1.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

2

$2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Étape 4.16.3.1.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 4.16.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Étape 4.16.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Étape 4.16.3.1.5

Évaluez l’exposant.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 4.16.3.2

Multipliez

- 1

$- 1$ par

2

$2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Étape 4.16.4

Annulez le facteur commun à

2 \sqrt{2} - 2

$2 \sqrt{2} - 2$ et

2

$2$ .

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Étape 4.16.4.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 \sqrt{2}

$2 \sqrt{2}$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Étape 4.16.4.2

Factorisez

2

$2$ à partir de

- 2

$- 2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Étape 4.16.4.3

Factorisez

2

$2$ à partir de

2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)

$2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Étape 4.16.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.16.4.4.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2

$2$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Étape 4.16.4.4.2

Annulez le facteur commun.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Étape 4.16.4.4.3

Réécrivez l’expression.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Étape 4.16.4.4.4

Divisez

\sqrt{2} - 1

$\sqrt{2} - 1$ par

1

$1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Étape 4.16.5

Appliquez la propriété distributive.

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Étape 4.16.6

Multipliez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Étape 4.17

Additionnez

2

$2$ et

1

$1$ .

\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Étape 4.18

Soustrayez

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ de

- \sqrt{2}

$- \sqrt{2}$ .

\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forme décimale :

0.41421356 \dots

$0.41421356 \dots$