Trigonométrie Exemples

$\tan^{5} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Étape 1

Factorisez $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{5} (x) - 9 \tan (x)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan^{5} (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) - 9 \tan (x) = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $- 9 \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9 = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $\tan (x)$ à partir de $\tan (x) \tan^{4} (x) + \tan (x) \cdot - 9$ .

$\tan (x) (\tan^{4} (x) - 9) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan^{4} (x)$ comme ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 9) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\tan (x) ({(\tan^{2} (x))}^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 1.4

Factorisez.

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Étape 1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan^{2} (x)$ et $b = 3$ .

$\tan (x) ((\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3)) = 0$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 3

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\tan (x)$ égal à $0$ .

$\tan (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\tan (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 3.2.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\tan^{2} (x) + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\tan^{2} (x) + 3$ égal à $0$ .

$\tan^{2} (x) + 3 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\tan^{2} (x) + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\tan^{2} (x) = - 3$

Étape 4.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 4.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 4.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 4.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$\tan (x) = \pm i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Étape 4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 4.2.5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = i \sqrt{3}$

$\tan (x) = - i \sqrt{3}$

Étape 4.2.6

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.6.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (i \sqrt{3})$

Étape 4.2.6.2

La tangente inverse de $\arctan (i \sqrt{3})$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.2.7

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - i \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- i \sqrt{3})$

Étape 4.2.7.2

La tangente inverse de $\arctan (- i \sqrt{3})$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.2.8

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution

Étape 5

Définissez $\tan^{2} (x) - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\tan^{2} (x) - 3$ égal à $0$ .

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan^{2} (x) = 3$

Étape 5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Étape 5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 5.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Étape 5.2.5

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 5.2.5.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 5.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.5.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.3

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.4

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.2.5.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.5.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 5.2.5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 5.2.5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.5.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 5.2.5.4.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 5.2.5.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 5.2.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.5.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.5.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.6

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Étape 5.2.6.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Étape 5.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.6.2.1

La valeur exacte de $\arctan (- \sqrt{3})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.3

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Étape 5.2.6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.2.6.4.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Étape 5.2.6.4.2

L’angle résultant de $\frac{2 π}{3}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 5.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.2.6.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.2.6.6

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.2.6.6.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + π$

Étape 5.2.6.6.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.6.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.2.6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.2.6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.6.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 5.2.6.6.4.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 5.2.6.7

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8

Consolidez les solutions.

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Étape 5.2.8.1

Consolidez $\frac{π}{3} + π n$ et $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.2.8.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + π n$ et $\frac{2 π}{3} + π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\tan (x) (\tan^{2} (x) + 3) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ vraie.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$