Trigonométrie Exemples

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 = - 8 \sin (θ) + 6$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $8 \sin (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) = 6$

Étape 1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6 = 0$

Étape 2

Simplifiez $9 \cos^{2} (θ) - 24 \sin (θ) - 10 + 8 \sin (θ) - 6$ .

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Étape 2.1

Additionnez $- 24 \sin (θ)$ et $8 \sin (θ)$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 10 - 16 \sin (θ) - 6 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ de $- 10$ .

$9 \cos^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Étape 3

Remplacez le $9 \cos^{2} (θ)$ par $9 (1 - \sin^{2} (θ))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$9 (1 - \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 \cdot 1 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Étape 4.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + 9 (- \sin^{2} (θ)) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$9 - 9 \sin^{2} (θ) - 16 - 16 \sin (θ) = 0$

Étape 5

Soustrayez $16$ de $9$ .

$- 9 \sin^{2} (θ) - 7 - 16 \sin (θ) = 0$

Étape 6

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- 9 \sin^{2} (θ) - 16 \sin (θ) - 7 = 0$

Étape 7

Remplacez $\sin (θ)$ par $u$ .

$- 9 {(u)}^{2} - 16 u - 7 = 0$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 u^{2} - 16 u - 7$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 u^{2}$ .

$- (9 u^{2}) - 16 u - 7 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 16 u$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 7 = 0$

Étape 8.1.3

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$- (9 u^{2}) - (16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Étape 8.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 u^{2}) - (16 u)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u) - 1 \cdot 7 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 u^{2} + 16 u) - 1 (7)$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 7 = 63$ et dont la somme est $b = 16$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 u$ .

$- (9 u^{2} + 16 u + 7) = 0$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez $16$ comme $7$ plus $9$

$- (9 u^{2} + (7 + 9) u + 7) = 0$

Étape 8.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Étape 8.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- (9 u^{2} + 7 u + 9 u + 7) = 0$

Étape 8.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (u (9 u + 7) + 1 (9 u + 7)) = 0$

Étape 8.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u + 7$ .

$- ((9 u + 7) (u + 1)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (9 u + 7) (u + 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$9 u + 7 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 10

Définissez $9 u + 7$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 10.1

Définissez $9 u + 7$ égal à $0$ .

$9 u + 7 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $9 u + 7 = 0$ pour $u$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$9 u = - 7$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $9 u = - 7$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 u = - 7$ par $9$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 7}{9}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 7}{9}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{7}{9}$

Étape 11

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 11.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (9 u + 7) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{7}{9}, - 1$

Étape 13

Remplacez $u$ par $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}, - 1$

Étape 14

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\sin (θ) = - \frac{7}{9}$

$\sin (θ) = - 1$

Étape 15

Résolvez $θ$ dans $\sin (θ) = - \frac{7}{9}$ .

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Étape 15.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{7}{9})$

Étape 15.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.2.1

Évaluez $\arcsin (- \frac{7}{9})$ .

$θ = - 51.05755873$

Étape 15.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 + 51.05755873 + 180$

Étape 15.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 15.4.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 51.05755873 + 180 °$ .

$θ = 360 + 51.05755873 + 180 ° - 360 °$

Étape 15.4.2

L’angle résultant de $231.05755873 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 51.05755873 + 180$ .

$θ = 231.05755873 °$

Étape 15.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 15.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 15.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 15.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 15.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 15.6

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 15.6.1

Ajoutez $360$ à $- 51.05755873$ pour déterminer l’angle positif.

$- 51.05755873 + 360$

Étape 15.6.2

Soustrayez $51.05755873$ de $360$ .

$308.94244126$

Étape 15.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 308.94244126$

Étape 15.7

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 16

Résolvez $θ$ dans $\sin (θ) = - 1$ .

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Étape 16.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- 1)$

Étape 16.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- 90$ .

$θ = - 90$

Étape 16.3

$θ = 360 + 90 + 180$

Étape 16.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 16.4.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 90 + 180 °$ .

$θ = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Étape 16.4.2

L’angle résultant de $270 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 90 + 180$ .

$θ = 270 °$

Étape 16.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 16.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 16.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 16.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 16.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 16.6

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 16.6.1

Ajoutez $360$ à $- 90$ pour déterminer l’angle positif.

$- 90 + 360$

Étape 16.6.2

Soustrayez $90$ de $360$ .

$270$

Étape 16.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 270$

Étape 16.7

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 17

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 18

Consolidez $270 + 360 n$ et $270 + 360 n$ en $270 + 360 n$ .

$θ = 231.05755873 + 360 n, 308.94244126 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier $n$