Trigonométrie Exemples

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Étape 2

Comme $\cot (- A)$ est une fonction impaire, réécrivez $\cot (- A)$ comme $- \cot (A)$ .

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) - \cot (A)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$\tan (A) \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Étape 4

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 4.1

Écrivez $\tan (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Étape 4.2

Écrivez $\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \cot (A)$

Étape 4.3

Écrivez $\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot 1 + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.2

Multipliez $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ par $1$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.3

Associez.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1

Annulez le facteur commun à $\sin (A)$ et ${\sin (A)}^{2}$ .

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Étape 5.1.4.1.1

Factorisez $\sin (A)$ à partir de $\sin (A) {\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.1.2.1

Factorisez $\sin (A)$ à partir de $\cos (A) {\sin (A)}^{2}$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2

Annulez le facteur commun à ${\cos (A)}^{2}$ et $\cos (A)$ .

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Étape 5.1.4.2.1

Factorisez $\cos (A)$ à partir de ${\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.2.2.1

Factorisez $\cos (A)$ à partir de $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) (\sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) - \cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.3

Soustrayez $\cos (A)$ de $\cos (A)$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{0}{\sin (A)}$

Étape 5.4

Divisez $0$ par $\sin (A)$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + 0$

Étape 5.5

Additionnez $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ et $0$ .

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ comme $\tan (A)$ .

$\tan (A)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$ est une identité