Trigonométrie Exemples

\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Étape 1

Commencez du côté droit.

\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$

Étape 2

Comme

\cot (- A)

$\cot (- A)$ est une fonction impaire, réécrivez

\cot (- A)

$\cot (- A)$ comme

- \cot (A)

$- \cot (A)$ .

\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) - \cot (A)

$\tan (A) \cdot \csc^{2} (A) - \cot (A)$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

\tan (A) \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)

$\tan (A) \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Étape 4

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 4.1

Écrivez

\tan (A)

$\tan (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \cot^{2} (A)) - \cot (A)$

Étape 4.2

Écrivez

\cot (A)

$\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \cot (A)

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \cot (A)$

Étape 4.3

Écrivez

\cot (A)

$\cot (A)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à

\frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot (1 + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot 1 + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot 1 + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.2

Multipliez

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ par

1

$1$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A)}{\cos (A)} \cdot \frac{{\cos (A)}^{2}}{{\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.3

Associez.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.4.1

Annulez le facteur commun à

\sin (A)

$\sin (A)$ et

{\sin (A)}^{2}

${\sin (A)}^{2}$ .

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Étape 5.1.4.1.1

Factorisez

\sin (A)

$\sin (A)$ à partir de

\sin (A) {\cos (A)}^{2}

$\sin (A) {\cos (A)}^{2}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\cos (A) {\sin (A)}^{2}} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.1.2.1

Factorisez

\sin (A)

$\sin (A)$ à partir de

\cos (A) {\sin (A)}^{2}

$\cos (A) {\sin (A)}^{2}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) ({\cos (A)}^{2})}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\sin (A) {\cos (A)}^{2}}{\sin (A) (\cos (A) \sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{{\cos (A)}^{2}}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2

Annulez le facteur commun à

{\cos (A)}^{2}

${\cos (A)}^{2}$ et

\cos (A)

$\cos (A)$ .

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Étape 5.1.4.2.1

Factorisez

\cos (A)

$\cos (A)$ à partir de

{\cos (A)}^{2}

${\cos (A)}^{2}$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.2.2.1

Factorisez

\cos (A)

$\cos (A)$ à partir de

\cos (A) \sin (A)

$\cos (A) \sin (A)$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) (\sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) (\sin (A))} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) \cos (A)}{\cos (A) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) - \cos (A)}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{\cos (A) - \cos (A)}{\sin (A)}$

Étape 5.3

Soustrayez

\cos (A)

$\cos (A)$ de

\cos (A)

$\cos (A)$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{0}{\sin (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + \frac{0}{\sin (A)}$

Étape 5.4

Divisez

0

$0$ par

\sin (A)

$\sin (A)$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + 0

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)} + 0$

Étape 5.5

Additionnez

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ et

0

$0$ .

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Étape 6

Réécrivez

\frac{\sin (A)}{\cos (A)}

$\frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ comme

\tan (A)

$\tan (A)$ .

\tan (A)

$\tan (A)$

Étape 7

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)

$\tan (A) = \tan (A) \cdot \csc^{2} (A) + \cot (- A)$ est une identité