Trigonométrie Exemples

$(\sec (B) + \tan (B)) (1 - \sin (B)) = \cos (B)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$(\sec (B) + \tan (B)) (1 - \sin (B))$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (B)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (B)} + \tan (B)) (1 - \sin (B))$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\tan (B)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}) (1 - \sin (B))$

Étape 2.2

Développez $(\frac{1}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)}) (1 - \sin (B))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (B)} (1 - \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (1 - \sin (B))$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (B)} (- \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (1 - \sin (B))$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{1}{\cos (B)} (- \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (B)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} + \frac{1}{\cos (B)} (- \sin (B)) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{1}{\cos (B)} \sin (B) + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Étape 2.3.1.3

Associez $\sin (B)$ et $\frac{1}{\cos (B)}$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \cdot 1 + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} (- \sin (B))$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \sin (B)$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- \frac{\sin (B)}{\cos (B)} \sin (B)$ .

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Étape 2.3.1.6.1

Associez $\sin (B)$ et $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin (B) \sin (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.3.1.6.2

Élevez $\sin (B)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin^{1} (B) \sin (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.3.1.6.3

Élevez $\sin (B)$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin^{1} (B) \sin^{1} (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.3.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{{\sin (B)}^{1 + 1}}{\cos (B)}$

Étape 2.3.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin (B)}{\cos (B)} + \frac{\sin (B)}{\cos (B)} - \frac{\sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.3.2

Additionnez $- \frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ et $\frac{\sin (B)}{\cos (B)}$ .

$\frac{1}{\cos (B)} + 0 - \frac{\sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.3.3

Additionnez $\frac{1}{\cos (B)}$ et $0$ .

$\frac{1}{\cos (B)} - \frac{\sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - \sin^{2} (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (B)$ et $\cos (B)$ .

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Étape 2.6.1

Factorisez $\cos (B)$ à partir de $\cos^{2} (B)$ .

$\frac{\cos (B) \cos (B)}{\cos (B)}$

Étape 2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\cos (B) \cos (B)}{\cos (B) \cdot 1}$

Étape 2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (B) \cos (B)}{\cos (B) \cdot 1}$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (B)}{1}$

Étape 2.6.2.4

Divisez $\cos (B)$ par $1$ .

$\cos (B)$

Étape 3

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$(\sec (B) + \tan (B)) (1 - \sin (B)) = \cos (B)$ est une identité