Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) + \sin (x) = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

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Étape 2.1

Déplacez $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (x)$ par $u$ .

$- u^{2} + u = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2} + u$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $u$ à partir de $- u^{2}$ .

$u (- u) + u = 0$

Étape 3.1.2.2

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$u (- u) + u = 0$

Étape 3.1.2.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{1}$ .

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Étape 3.1.2.4

Factorisez $u$ à partir de $u (- u) + u \cdot 1$ .

$u (- u + 1) = 0$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.3

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.3.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.3.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4

Définissez $- \sin (x) + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $- \sin (x) + 1$ égal à $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $- \sin (x) + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 3.4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.5

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.4.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.4.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.2.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 3.4.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$