Trigonométrie Exemples

\cos^{2} (x) + \sin (x) = 1

$\cos^{2} (x) + \sin (x) = 1$

Étape 1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0

$\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez

\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1

$\cos^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déplacez

- 1

$- 1$ .

\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0

$\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ et

- 1

$- 1$ .

- 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- 1 + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez

- 1

$- 1$ comme

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 2.4

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

\cos^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ .

- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 2.5

Factorisez

- 1

$- 1$ à partir de

- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 2.6

Réécrivez

- 1 (1 - \cos^{2} (x))

$- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme

- (1 - \cos^{2} (x))

$- (1 - \cos^{2} (x))$ .

- (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0

$- (1 - \cos^{2} (x)) + \sin (x) = 0$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0

$- \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 3

Résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Laissez

u = \sin (x)

$u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de

\sin (x)

$\sin (x)$ par

u

$u$ .

- u^{2} + u = 0

$- u^{2} + u = 0$

Étape 3.1.2

Factorisez

u

$u$ à partir de

- u^{2} + u

$- u^{2} + u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Factorisez

u

$u$ à partir de

- u^{2}

$- u^{2}$ .

u (- u) + u = 0

$u (- u) + u = 0$

Étape 3.1.2.2

Élevez

u

$u$ à la puissance

1

$1$ .

u (- u) + u = 0

$u (- u) + u = 0$

Étape 3.1.2.3

Factorisez

u

$u$ à partir de

u^{1}

$u^{1}$ .

u (- u) + u \cdot 1 = 0

$u (- u) + u \cdot 1 = 0$

Étape 3.1.2.4

Factorisez

u

$u$ à partir de

u (- u) + u \cdot 1

$u (- u) + u \cdot 1$ .

u (- u + 1) = 0

$u (- u + 1) = 0$

u (- u + 1) = 0

$u (- u + 1) = 0$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

\sin (x)

$\sin (x)$ .

\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

- \sin (x) + 1 = 0

$- \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.3

Définissez

\sin (x)

$\sin (x)$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Définissez

\sin (x)

$\sin (x)$ égal à

0

$0$ .

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez

\sin (x) = 0

$\sin (x) = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 3.3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du sinus.

x = \arcsin (0)

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

La valeur exacte de

\arcsin (0)

$\arcsin (0)$ est

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

Étape 3.3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

x = π - 0

$x = π - 0$

Étape 3.3.2.4

Soustrayez

0

$0$ de

π

$π$ .

x = π

$x = π$

Étape 3.3.2.5

Déterminez la période de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.3.2.5.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.3.2.5.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 3.3.2.6

La période de la fonction

\sin (x)

$\sin (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 3.4

Définissez

- \sin (x) + 1

$- \sin (x) + 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez

- \sin (x) + 1

$- \sin (x) + 1$ égal à

0

$0$ .

- \sin (x) + 1 = 0

$- \sin (x) + 1 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez

- \sin (x) + 1 = 0

$- \sin (x) + 1 = 0$ pour

x

$x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Soustrayez

1

$1$ des deux côtés de l’équation.

- \sin (x) = - 1

$- \sin (x) = - 1$

Étape 3.4.2.2

Divisez chaque terme dans

- \sin (x) = - 1

$- \sin (x) = - 1$ par

- 1

$- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans

- \sin (x) = - 1

$- \sin (x) = - 1$ par

- 1

$- 1$ .

\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2.2

Divisez

\sin (x)

$\sin (x)$ par

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.3.1

Divisez

- 1

$- 1$ par

- 1

$- 1$ .

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

Étape 3.4.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du sinus.

x = \arcsin (1)

$x = \arcsin (1)$

Étape 3.4.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.4.1

La valeur exacte de

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ est

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6

Simplifiez

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.6.1

Pour écrire

π

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.6.2.1

Associez

π

$π$ et

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.4.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.6.3.1

Déplacez

2

$2$ à gauche de

π

$π$ .

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 3.4.2.6.3.2

Soustrayez

π

$π$ de

2 π

$2 π$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.4.2.7

Déterminez la période de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.7.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.7.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 3.4.2.8

La période de la fonction

\sin (x)

$\sin (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0

$\sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ vraie.

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 4

Consolidez

2 π n

$2 π n$ et

π + 2 π n

$π + 2 π n$ en

π n

$π n$ .

x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$