Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez

$u = \sin (x)$ . Remplacez toutes les occurrences de

$\sin (x)$ par

$u$ .

$u^{2} + u = 0$

Étape 1.2

Factorisez

$u$ à partir de

$u^{2} + u$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez

$u$ à partir de

$u^{2}$ .

$u \cdot u + u = 0$

Étape 1.2.2

Élevez

$u$ à la puissance

$1$ .

$u \cdot u + u = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez

$u$ à partir de

$u^{1}$ .

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez

$u$ à partir de

$u \cdot u + u \cdot 1$ .

$u (u + 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de

$u$ par

$\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 3

Définissez

$\sin (x)$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 3.1

Définissez

$\sin (x)$ égal à

$0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.2

Résolvez

$\sin (x) = 0$ pour

$x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

La valeur exacte de

$\arcsin (0)$ est

$0$ .

$x = 0$

Étape 3.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = 180 - 0$

Étape 3.2.4

Soustrayez

$0$ de

$180$ .

$x = 180$

Étape 3.2.5

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

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Étape 3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.5.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.5.4

Divisez

$360$ par

$1$ .

$360$

Étape 3.2.6

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$360$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$360$ degrés dans les deux sens.

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

Étape 4

Définissez

$\sin (x) + 1$ égal à

$0$ et résolvez

$x$ .

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Étape 4.1

Définissez

$\sin (x) + 1$ égal à

$0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez

$\sin (x) + 1 = 0$ pour

$x$ .

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Étape 4.2.1

Soustrayez

$1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 4.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de

$\arcsin (- 1)$ est

$- 90$ .

$x = - 90$

Étape 4.2.4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de

$360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à

$180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 360 + 90 + 180$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.5.1

Soustrayez

$360 °$ de

$360 + 90 + 180 °$ .

$x = 360 + 90 + 180 ° - 360 °$

Étape 4.2.5.2

L’angle résultant de

$270 °$ est positif, inférieur à

$360 °$ et coterminal avec

$360 + 90 + 180$ .

$x = 270 °$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de

$\sin (x)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez

$360$ par

$1$ .

$360$

Étape 4.2.7

Ajoutez

$360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.7.1

Ajoutez

$360$ à

$- 90$ pour déterminer l’angle positif.

$- 90 + 360$

Étape 4.2.7.2

Soustrayez

$90$ de

$360$ .

$270$

Étape 4.2.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 270$

Étape 4.2.8

La période de la fonction

$\sin (x)$ est

$360$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$360$ degrés dans les deux sens.

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

$x = 270 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$\sin (x) (\sin (x) + 1) = 0$ vraie.

$x = 360 n, 180 + 360 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

Étape 6

Consolidez

$360 n$ et

$180 + 360 n$ en

$180 n$ .

$x = 180 n, 270 + 360 n$ , pour tout entier

$n$