Trigonométrie Exemples

$\sec^{6} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{4} (x) (\sec (x) \tan (x)) = \sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sec^{6} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{4} (x) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

$\sec^{7} (x) \tan (x) - \sec^{5} (x) \tan (x)$

Étape 3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1

Factorisez $\sec^{5} (x) \tan (x)$ à partir de $\sec^{7} (x) \tan (x) - \sec^{5} (x) \tan (x)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $\sec^{5} (x) \tan (x)$ à partir de $\sec^{7} (x) \tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - \sec^{5} (x) \tan (x)$

Étape 3.1.2

Factorisez $\sec^{5} (x) \tan (x)$ à partir de $- \sec^{5} (x) \tan (x)$ .

$\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + \sec^{5} (x) \tan (x) (- 1)$

Étape 3.1.3

Factorisez $\sec^{5} (x) \tan (x)$ à partir de $\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + \sec^{5} (x) \tan (x) (- 1)$ .

$\sec^{5} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - 1)$

Étape 3.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sec^{5} (x) \tan (x) \tan^{2} (x)$

Étape 3.3

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{5} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x))$

Étape 3.3.2

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $\tan (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{5} (x) (\tan^{2} (x) \tan^{1} (x))$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{5} (x) {\tan (x)}^{2 + 1}$

Étape 3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$

Étape 3.4

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{5} \tan^{3} (x)$

Étape 3.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{5}}{\cos^{5} (x)} \tan^{3} (x)$

Étape 3.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{\cos^{5} (x)} \tan^{3} (x)$

Étape 3.7

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\cos^{5} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{3}$

Étape 3.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{5} (x)} \cdot \frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{3} (x)}$

Étape 3.9

Associez.

$\frac{1 \sin^{3} (x)}{\cos^{5} (x) \cos^{3} (x)}$

Étape 3.10

Multipliez $\cos^{5} (x)$ par $\cos^{3} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.10.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 \sin^{3} (x)}{{\cos (x)}^{5 + 3}}$

Étape 3.10.2

Additionnez $5$ et $3$ .

$\frac{1 \sin^{3} (x)}{\cos^{8} (x)}$

Étape 3.11

Multipliez $\sin^{3} (x)$ par $1$ .

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{8} (x)}$

Étape 4

Réécrivez $\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{8} (x)}$ comme $\sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$ .

$\sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$

Étape 5

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sec^{6} (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec^{4} (x) (\sec (x) \tan (x)) = \sec^{5} (x) \tan^{3} (x)$ est une identité