Trigonométrie Exemples

sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

θ

$θ$ de l’intérieur du sinus.

θ = arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de

arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est

- \frac{π}{3}

$- \frac{π}{3}$ .

θ = - \frac{π}{3}

$θ = - \frac{π}{3}$

θ = - \frac{π}{3}

$θ = - \frac{π}{3}$

Étape 4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de

2 π

$2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à

π

$π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

θ = 2 π + \frac{π}{3} + π

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 5.1

Soustrayez

2 π

$2 π$ de

2 π + \frac{π}{3} + π

$2 π + \frac{π}{3} + π$ .

θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 5.2

L’angle résultant de

\frac{4 π}{3}

$\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à

2 π

$2 π$ et coterminal avec

2 π + \frac{π}{3} + π

$2 π + \frac{π}{3} + π$ .

θ = \frac{4 π}{3}

$θ = \frac{4 π}{3}$

θ = \frac{4 π}{3}

$θ = \frac{4 π}{3}$

Étape 6

Déterminez la période de

sin (θ)

$\sin (θ)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 7

Ajoutez

2 π

$2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.1

Ajoutez

2 π

$2 π$ à

- \frac{π}{3}

$- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

- \frac{π}{3} + 2 π

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 7.2

Pour écrire

2 π

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.3

Associez les fractions.

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Étape 7.3.1

Associez

2 π

$2 π$ et

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1

Multipliez

3

$3$ par

2

$2$ .

\frac{6 π - π}{3}

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 7.4.2

Soustrayez

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

\frac{5 π}{3}

$\frac{5 π}{3}$

\frac{5 π}{3}

$\frac{5 π}{3}$

Étape 7.5

Indiquez les nouveaux angles.

θ = \frac{5 π}{3}

$θ = \frac{5 π}{3}$

θ = \frac{5 π}{3}

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction

sin (θ)

$\sin (θ)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$