Trigonométrie Exemples

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)}$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\cot (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Étape 2.2

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 + \frac{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}{\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}}$

Étape 2.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ par $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Étape 2.5.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Étape 2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Étape 2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)}$

Étape 2.6

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Étape 2.6.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Étape 2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Étape 2.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 3

Appliquez l’identité pythagoricienne en sens inverse.

$1 + \frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \cos (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{\cos (θ)}^{2} + (1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ comme $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Étape 6

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$1 + \frac{\tan (θ)}{\cot (θ)} = \sec^{2} (θ)$ est une identité