Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 1

Remplacez le $2 \sin^{2} (x)$ par $2 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Étape 3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 = 0$

Étape 4

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} + u + 1 = 0$

Étape 5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u^{2} + u + 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

Étape 5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $u$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Étape 5.1.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 5.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 5.2

Factorisez.

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Étape 5.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Étape 5.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Étape 5.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 5.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 7

Définissez $2 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $2 u + 1$ égal à $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $2 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u = - 1$

Étape 7.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{2}$

Étape 8

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 8.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 8.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 10

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 11

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{1}{2})$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 12.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 12.4

Simplifiez $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 12.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 12.4.2

Associez les fractions.

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Étape 12.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Étape 12.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 12.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 12.4.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 1$ .

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Étape 13.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 13.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 13.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 13.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 13.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 13.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 13.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15

Consolidez les réponses.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$