Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{π}{3})$

Étape 1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{1}{2}$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 5.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{4}}$

Étape 5.5

Additionnez $0$ et $\frac{1}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 5.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 5.8

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{1}{2}$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{\frac{1}{2}})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{\frac{1}{2}}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0$ .

$θ = 0$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = 0$ et $| z | = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 (\cos (0) + i \sin (0))}$