Trigonométrie Exemples

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 = - 4 \sin (θ) + 9$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez

$4 \sin (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) = 9$

Étape 1.2

Soustrayez

$9$ des deux côtés de l’équation.

$6 \sin^{2} (θ) - 17 \sin (θ) + 14 + 4 \sin (θ) - 9 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Additionnez

$- 17 \sin (θ)$ et

$4 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 14 - 13 \sin (θ) - 9 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez

$9$ de

$14$ .

$6 \sin^{2} (θ) + 5 - 13 \sin (θ) = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Étape 3.2

Pour un polynôme de la forme

$a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est

$a \cdot c = 6 \cdot 5 = 30$ et dont la somme est

$b = - 13$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez

$- 13$ à partir de

$- 13 \sin (θ)$ .

$6 \sin^{2} (θ) - 13 \sin (θ) + 5 = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez

$- 13$ comme

$- 3$ plus

$- 10$

$6 \sin^{2} (θ) + (- 3 - 10) \sin (θ) + 5 = 0$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) - 10 \sin (θ) + 5 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) - 5 (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Étape 3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun,

$2 \sin (θ) - 1$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

$0$ , l’expression entière sera égale à

$0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Étape 5

Définissez

$2 \sin (θ) - 1$ égal à

$0$ et résolvez

$θ$ .

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Étape 5.1

Définissez

$2 \sin (θ) - 1$ égal à

$0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez

$2 \sin (θ) - 1 = 0$ pour

$θ$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez

$1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (θ) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans

$2 \sin (θ) = 1$ par

$2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans

$2 \sin (θ) = 1$ par

$2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez

$\sin (θ)$ par

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

$θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

La valeur exacte de

$\arcsin (\frac{1}{2})$ est

$30$ .

$θ = 30$

Étape 5.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

$180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 30$

Étape 5.2.6

Soustrayez

$30$ de

$180$ .

$θ = 150$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de

$\sin (θ)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

$\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez

$b$ par

$1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

$0$ et

$1$ est

$1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez

$360$ par

$1$ .

$360$

Étape 5.2.8

La période de la fonction

$\sin (θ)$ est

$360$ si bien que les valeurs se répètent tous les

$360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , pour tout entier

$n$

Étape 6

Définissez

$3 \sin (θ) - 5$ égal à

$0$ et résolvez

$θ$ .

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Étape 6.1

Définissez

$3 \sin (θ) - 5$ égal à

$0$ .

$3 \sin (θ) - 5 = 0$

Étape 6.2

Résolvez

$3 \sin (θ) - 5 = 0$ pour

$θ$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez

$5$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \sin (θ) = 5$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans

$3 \sin (θ) = 5$ par

$3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans

$3 \sin (θ) = 5$ par

$3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

$3$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{5}{3}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez

$\sin (θ)$ par

$1$ .

$\sin (θ) = \frac{5}{3}$

Étape 6.2.3

La plage du sinus est

$- 1 \leq y \leq 1$ . Comme

$\frac{5}{3}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

$(2 \sin (θ) - 1) (3 \sin (θ) - 5) = 0$ vraie.

$θ = 30 + 360 n, 150 + 360 n$ , pour tout entier

$n$