Trigonométrie Exemples

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 = - 5 \tan (θ)$

Étape 1

Ajoutez $5 \tan (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$6 \tan^{2} (θ) - 10 \tan (θ) + 1 + 5 \tan (θ) = 0$

Étape 2

Additionnez $- 10 \tan (θ)$ et $5 \tan (θ)$ .

$6 \tan^{2} (θ) + 1 - 5 \tan (θ) = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

Étape 3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 6 \cdot 1 = 6$ et dont la somme est $b = - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 \tan (θ)$ .

$6 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 1 = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 2$ plus $- 3$

$6 \tan^{2} (θ) + (- 2 - 3) \tan (θ) + 1 = 0$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$6 \tan^{2} (θ) - 2 \tan (θ) - 3 \tan (θ) + 1 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 \tan (θ) (3 \tan (θ) - 1) - (3 \tan (θ) - 1) = 0$

Étape 3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 \tan (θ) - 1$ .

$(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $3 \tan (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez $3 \tan (θ) - 1$ égal à $0$ .

$3 \tan (θ) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $3 \tan (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 \tan (θ) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 \tan (θ) = 1$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 \tan (θ) = 1$ par $3$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (\frac{1}{3})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1

Évaluez $\arctan (\frac{1}{3})$ .

$θ = 18.43494882$

Étape 5.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 18.43494882$

Étape 5.2.6

Additionnez $180$ et $18.43494882$ .

$θ = 198.43494882$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $2 \tan (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez $2 \tan (θ) - 1$ égal à $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 \tan (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \tan (θ) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \tan (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

Évaluez $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

Étape 6.2.5

$θ = 180 + 26.56505117$

Étape 6.2.6

Additionnez $180$ et $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 \tan (θ) - 1) (2 \tan (θ) - 1) = 0$ vraie.

$θ = 18.43494882 + 180 n, 198.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Consolidez $18.43494882 + 180 n$ et $198.43494882 + 180 n$ en $18.43494882 + 180 n$ .

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $26.56505117 + 180 n$ et $206.56505117 + 180 n$ en $26.56505117 + 180 n$ .

$θ = 18.43494882 + 180 n, 26.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$