Trigonométrie Exemples

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Étape 1

Commencez du côté droit.

$\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Étape 2

Additionnez des fractions.

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ par $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ par $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1

Additionnez $\sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) + 1 - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sec (x) + 0}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 3.3

Additionnez $2 \sec (x)$ et $0$ .

$\frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Développez $(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) (\sec (x) - 1) + 1 (\sec (x) - 1)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 (\sec (x) - 1)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot - 1 + 1 \sec (x) + 1 \cdot - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

$\frac{2 \sec (x)}{\sec^{2} (x) - 1}$

Étape 5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Étape 6

Convertissez en sinus et cosinus.

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Étape 6.1

Appliquez l’identité réciproque à $\sec (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\tan^{2} (x)}$

Étape 6.2

Écrivez $\tan (x)$ en sinus et cosinus en utilisant l’identité du quotient.

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{{(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 \frac{1}{\cos (x)} \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 7.2

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Étape 7.3

Associez.

$\frac{2 {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) {\sin (x)}^{2}}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à ${\cos (x)}^{2}$ et $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Étape 8

Réécrivez $\frac{2 \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ comme $2 \cot (x) \csc (x)$ .

$2 \cot (x) \csc (x)$

Étape 9

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 \cot (x) \csc (x) = \frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}$ est une identité