Trigonométrie Exemples

$(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$

Étape 1

Pour déterminer le $\cos (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ et $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ .

Opposé : $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

Adjacent : $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{5}$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5}{5^{2}} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4 \cdot 5}{25} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$\sqrt{\frac{20}{25} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $20$ et $25$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $5$ à partir de $20$ .

$\sqrt{\frac{5 (4)}{25} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\sqrt{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{4}{5} + {(- \frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + 1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5^{1}}{5^{2}}}$

Étape 2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5}{5^{2}}}$

Étape 2.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5}{25}}$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun à $5$ et $25$ .

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Étape 2.8.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5 (1)}{25}}$

Étape 2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.2.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Étape 2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}}$

Étape 2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{4}{5} + \frac{1}{5}}$

Étape 2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{4 + 1}{5}}$

Étape 2.9.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

Étape 2.9.3

Divisez $5$ par $5$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.9.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\cos (θ) = \frac{Adjacent}{Hypoténuse}$ donc $\cos (θ) = \frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{1}$ .

$\frac{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}{1}$

Étape 4

Divisez $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\cos (θ) = \frac{2 \sqrt{5}}{5} \approx 0.89442719$