Trigonométrie Exemples

$\csc (θ) = 5$ with $\frac{π}{2} < θ < π$

Étape 1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\csc (θ) = \frac{hypoténuse}{opposé}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Étape 4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Adjacent $= - \sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Adjacent $= - \sqrt{25 - 1}$

Étape 4.5

Soustrayez $1$ de $25$ .

Adjacent $= - \sqrt{24}$

Étape 4.6

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

Adjacent $= - \sqrt{4 (6)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

Adjacent $= - (2 \sqrt{6})$

Étape 4.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

Adjacent $= - 2 \sqrt{6}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{6}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{6}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 7.3.3.2

Déplacez $\sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 7.3.3.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 7.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 7.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 7.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{1}$

Étape 8.3

Divisez $- 2 \sqrt{6}$ par $1$ .

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{6}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 9.3.3.2

Déplacez $\sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 9.3.3.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 9.3.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 9.3.3.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 9.3.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 9.3.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 9.3.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = 5$