Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 5.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $45$ .

$θ = 45$

Étape 5.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 360 - 45$

Étape 5.4

Soustrayez $45$ de $360$ .

$θ = 315$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 5.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $135$ .

$θ = 135$

Étape 6.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 - 135$

Étape 6.4

Soustrayez $135$ de $360$ .

$θ = 225$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 6.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 45 + 360 n, 315 + 360 n, 135 + 360 n, 225 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$θ = 45 + 90 n$ , pour tout entier $n$