Trigonométrie Exemples

$\frac{\sqrt{2}}{2} \csc (x) - 1 = 0$

Étape 1

Associez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et $\csc (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = 1$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 4.1.1.2.1

Factorisez $\sqrt{2}$ à partir de $\sqrt{2} \csc (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$ .

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 1$

Étape 4.2.1.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Étape 4.2.1.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2} \cdot 1$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Étape 5

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $arccsc (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 8

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 8.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 8.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 9

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 10

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$