Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (2 θ) = 1 - \cos (2 θ)$

Étape 1

Remplacez $\cos (2 θ)$ par $u$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

Étape 2

Ajoutez $u$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u^{2} + u = 1$

Étape 3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 4.1.1

Multipliez par $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Étape 4.1.2

Réécrivez $1$ comme $- 1$ plus $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Étape 4.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Étape 4.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 6

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.1

Définissez $2 u - 1$ égal à $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $2 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 u = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 u = 1$ par $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Étape 7

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 7.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\cos (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}, - 1$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 θ) = - 1$

Étape 11

Résolvez $θ$ dans $\cos (2 θ) = \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$2 θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 11.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $60$ .

$2 θ = 60$

Étape 11.3

Divisez chaque terme dans $2 θ = 60$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.3.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = 60$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{60}{2}$

Étape 11.3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{60}{2}$

Étape 11.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.3.1

Divisez $60$ par $2$ .

$θ = 30$

Étape 11.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 θ = 360 - 60$

Étape 11.5

Résolvez $θ$ .

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Étape 11.5.1

Soustrayez $60$ de $360$ .

$2 θ = 300$

Étape 11.5.2

Divisez chaque terme dans $2 θ = 300$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = 300$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Étape 11.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{300}{2}$

Étape 11.5.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{300}{2}$

Étape 11.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.5.2.3.1

Divisez $300$ par $2$ .

$θ = 150$

Étape 11.6

Déterminez la période de $\cos (2 θ)$ .

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Étape 11.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 11.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 2 |}$

Étape 11.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{360}{2}$

Étape 11.6.4

Divisez $360$ par $2$ .

$180$

Étape 11.7

La période de la fonction $\cos (2 θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Résolvez $θ$ dans $\cos (2 θ) = - 1$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$2 θ = \arccos (- 1)$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $180$ .

$2 θ = 180$

Étape 12.3

Divisez chaque terme dans $2 θ = 180$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.3.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = 180$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Étape 12.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Étape 12.3.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Étape 12.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.3.1

Divisez $180$ par $2$ .

$θ = 90$

Étape 12.4

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 θ = 360 - 180$

Étape 12.5

Résolvez $θ$ .

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Étape 12.5.1

Soustrayez $180$ de $360$ .

$2 θ = 180$

Étape 12.5.2

Divisez chaque terme dans $2 θ = 180$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 θ = 180$ par $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Étape 12.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{180}{2}$

Étape 12.5.2.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{180}{2}$

Étape 12.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.5.2.3.1

Divisez $180$ par $2$ .

$θ = 90$

Étape 12.6

Déterminez la période de $\cos (2 θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 12.6.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 2 |}$

Étape 12.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{360}{2}$

Étape 12.6.4

Divisez $360$ par $2$ .

$180$

Étape 12.7

La période de la fonction $\cos (2 θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 90 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 30 + 180 n, 150 + 180 n, 90 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 14

Consolidez les réponses.

$θ = 30 + 60 n$ , pour tout entier $n$