Trigonométrie Exemples

$8 \tan (x) \sin (x) = \sin (x)$

Étape 1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$8 \tan (x) \sin (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$8 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2.1.2

Associez $8$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ .

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Étape 2.1.3.1

Associez $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ et $\sin (x)$ .

$\frac{8 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 2.1.3.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 2.1.3.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{8 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 2.2.2

Séparez les fractions.

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) = 0$

Étape 2.2.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{8 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) - \sin (x) = 0$

Étape 2.2.4

Divisez $8 (\sin (x))$ par $1$ .

$8 \sin (x) \tan (x) - \sin (x) = 0$

Étape 3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $8 \sin (x) \tan (x) - \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $8 \sin (x) \tan (x)$ .

$\sin (x) (8 \tan (x)) - \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (8 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\sin (x) (8 \tan (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (8 \tan (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$8 \tan (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = 180 - 0$

Étape 5.2.4

Soustrayez $0$ de $180$ .

$x = 180$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$x = 360 n, 180 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $8 \tan (x) - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $8 \tan (x) - 1$ égal à $0$ .

$8 \tan (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $8 \tan (x) - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$8 \tan (x) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $8 \tan (x) = 1$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $8 \tan (x) = 1$ par $8$ .

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \tan (x)}{8} = \frac{1}{8}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{8}$

Étape 6.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\frac{1}{8})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.4.1

Évaluez $\arctan (\frac{1}{8})$ .

$x = 7.12501634$

Étape 6.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 180 + 7.12501634$

Étape 6.2.6

Additionnez $180$ et $7.12501634$ .

$x = 187.12501634$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\tan (x)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$x = 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\sin (x) (8 \tan (x) - 1) = 0$ vraie.

$x = 360 n, 180 + 360 n, 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $360 n$ et $180 + 360 n$ en $180 n$ .

$x = 180 n, 7.12501634 + 180 n, 187.12501634 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $7.12501634 + 180 n$ et $187.12501634 + 180 n$ en $7.12501634 + 180 n$ .

$x = 180 n, 7.12501634 + 180 n$ , pour tout entier $n$