Trigonométrie Exemples

$\frac{6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$ .

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})))}{3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i}$ par le conjugué de $0.8660254 + 0.5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))}{0.8660254 + 0.5 i} \cdot \frac{0.8660254 - 0.5 i}{0.8660254 - 0.5 i}$

Étape 3

Multipliez.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.1.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.5

Développez $(1 + i \sqrt{3}) (0.8660254 - 0.5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (0.8660254 - 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} (0.8660254 - 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.6.1.1

Multipliez $0.8660254$ par $1$ .

$\frac{0.8660254 + 1 (- 0.5 i) + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.2

Multipliez $- 0.5 i$ par $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \sqrt{3} \cdot 0.8660254 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.3

Multipliez $0.8660254$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + i \cdot 1.5 + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.4

Déplacez $1.5$ à gauche de $i$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 \cdot i + i \sqrt{3} (- 0.5 i)}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.5

Multipliez $i \sqrt{3} (- 0.5 i)$ .

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Étape 3.2.6.1.5.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 (i^{1} i^{1}))}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{1 + 1})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + \sqrt{3} (- 0.5 i^{2})}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.5.5

Multipliez $- 0.5$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 i^{2}}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i - 0.8660254 \cdot - 1}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.1.7

Multipliez $- 0.8660254$ par $- 1$ .

$\frac{0.8660254 - 0.5 i + 1.5 i + 0.8660254}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.2

Additionnez $0.8660254$ et $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 - 0.5 i + 1.5 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.2.6.3

Additionnez $- 0.5 i$ et $1.5 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.1

Développez $(0.8660254 + 0.5 i) (0.8660254 - 0.5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 (0.8660254 - 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i (0.8660254 - 0.5 i)}$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.8660254 \cdot 0.8660254 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $0.8660254$ par $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.8660254 (- 0.5 i) + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 0.5$ par $0.8660254$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.5 i \cdot 0.8660254 + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $0.8660254$ par $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i + 0.5 i (- 0.5 i)}$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 0.5$ par $0.5$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i i}$

Étape 3.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i)}$

Étape 3.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 3.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{1 + 1}}$

Étape 3.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 - 0.4330127 i + 0.4330127 i - 0.25 i^{2}}$

Étape 3.3.2.9

Additionnez $- 0.4330127 i$ et $0.4330127 i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 i - 0.25 i^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $0$ par $i$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 i^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 - 0.25 \cdot - 1}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $- 0.25$ par $- 1$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0 + 0.25}$

Étape 3.3.4

Additionnez $0.75$ et $0$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{0.75 + 0.25}$

Étape 3.3.5

Additionnez $0.75$ et $0.25$ .

$\frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Étape 4

Réécrivez $1.7320508$ comme $1 (1.7320508)$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 i}{1}$

Étape 5

Factorisez $1$ à partir de $1 i$ .

$\frac{1 (1.7320508) + 1 (1 i)}{1}$

Étape 6

Factorisez $1$ à partir de $1 (1.7320508) + 1 (1 i)$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1}$

Étape 7

Factorisez $1$ à partir de $1$ .

$\frac{1 (1.7320508 + 1 i)}{1 (1)}$

Étape 8

Séparez les fractions.

$\frac{1}{1} \cdot \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Divisez $1$ par $1$ .

$1 \frac{1.7320508 + 1 i}{1}$

Étape 9.2

Divisez $1.7320508 + 1 i$ par $1$ .

$1 (1.7320508 + 1 i)$

Étape 10

Appliquez la propriété distributive.

$1 \cdot 1.7320508 + 1 (1 i)$

Étape 11

Multipliez.

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Étape 11.1

Multipliez $1$ par $1.7320508$ .

$1.7320508 + 1 (1 i)$

Étape 11.2

Multipliez $1$ par $1$ .

$1.7320508 + 1 i$

Étape 12

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 13

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 14

Remplacez les valeurs réelles de $a = 1.7320508$ et $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2} + {1.7320508}^{2}}$

Étape 15

Déterminez $| z |$ .

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Étape 15.1

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + {1.7320508}^{2}}$

Étape 15.2

Élevez $1.7320508$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 + 3}$

Étape 15.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$| z | = \sqrt{4}$

Étape 15.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Étape 15.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = 2$

Étape 16

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{1}{1.7320508})$

Étape 17

Comme la tangente inverse de $\frac{1}{1.7320508}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 18

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{π}{6}$ et $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$