Trigonométrie Exemples

$\tan (x) + \cot (x) = \sec (x) \csc (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) = \sec (x) \csc (x)$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sec (x) \csc (x)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sec (x) \csc (x)$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \csc (x)$

Étape 2.1.2

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6

Multipliez $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Étape 6.1

Associez $\cos (x)$ et $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) (\sin (x))}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8

Soustrayez $\frac{1}{\sin (x)}$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = 0$

Étape 9

Simplifiez $\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $\cos^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.6

Réécrivez $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ comme $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin (x) + \frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.8

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 9.8.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)} = 0$

Étape 9.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.8.2.1

Multipliez par $1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Étape 9.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) + \frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1} = 0$

Étape 9.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) + \frac{- \sin (x)}{1} = 0$

Étape 9.8.2.4

Divisez $- \sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) - \sin (x) = 0$

Étape 9.9

Soustrayez $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$0 = 0$

Étape 10

Comme $0 = 0$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai