Trigonométrie Exemples

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 = - 8 \tan (θ) + 6$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $8 \tan (θ)$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) = 6$

Étape 1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$2 \tan^{2} (θ) - 5 \tan (θ) + 4 + 8 \tan (θ) - 6 = 0$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Additionnez $- 5 \tan (θ)$ et $8 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 4 + 3 \tan (θ) - 6 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$2 \tan^{2} (θ) - 2 + 3 \tan (θ) = 0$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Étape 3.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \tan (θ)$ .

$2 \tan^{2} (θ) + 3 \tan (θ) - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$2 \tan^{2} (θ) + (- 1 + 4) \tan (θ) - 2 = 0$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$2 \tan^{2} (θ) - 1 \tan (θ) + 4 \tan (θ) - 2 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\tan (θ) (2 \tan (θ) - 1) + 2 (2 \tan (θ) - 1) = 0$

Étape 3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 \tan (θ) - 1$ .

$(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

$\tan (θ) + 2 = 0$

Étape 5

Définissez $2 \tan (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Définissez $2 \tan (θ) - 1$ égal à $0$ .

$2 \tan (θ) - 1 = 0$

Étape 5.2

Résolvez $2 \tan (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \tan (θ) = 1$

Étape 5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \tan (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2.2.1.2

Divisez $\tan (θ)$ par $1$ .

$\tan (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (\frac{1}{2})$

Étape 5.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.4.1

Évaluez $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$θ = 26.56505117$

Étape 5.2.5

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 180 + 26.56505117$

Étape 5.2.6

Additionnez $180$ et $26.56505117$ .

$θ = 206.56505117$

Étape 5.2.7

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 5.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 5.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 5.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 5.2.7.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 5.2.8

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $\tan (θ) + 2$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 6.1

Définissez $\tan (θ) + 2$ égal à $0$ .

$\tan (θ) + 2 = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\tan (θ) + 2 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (θ) = - 2$

Étape 6.2.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- 2)$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Évaluez $\arctan (- 2)$ .

$θ = - 63.43494882$

Étape 6.2.4

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - 63.43494882 - 180$

Étape 6.2.5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.5.1

Ajoutez $360 °$ à $- 63.43494882 - 180 °$ .

$θ = - 63.43494882 - 180 ° + 360 °$

Étape 6.2.5.2

L’angle résultant de $116.56505117 °$ est positif et coterminal avec $- 63.43494882 - 180$ .

$θ = 116.56505117 °$

Étape 6.2.6

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 6.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{180}{| b |}$ .

$\frac{180}{| b |}$

Étape 6.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{180}{| 1 |}$

Étape 6.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{180}{1}$

Étape 6.2.6.4

Divisez $180$ par $1$ .

$180$

Étape 6.2.7

Ajoutez $180$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.2.7.1

Ajoutez $180$ à $- 63.43494882$ pour déterminer l’angle positif.

$- 63.43494882 + 180$

Étape 6.2.7.2

Soustrayez $63.43494882$ de $180$ .

$116.56505117$

Étape 6.2.7.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 116.56505117$

Étape 6.2.8

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $180$ si bien que les valeurs se répètent tous les $180$ degrés dans les deux sens.

$θ = 116.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \tan (θ) - 1) (\tan (θ) + 2) = 0$ vraie.

$θ = 26.56505117 + 180 n, 206.56505117 + 180 n, 116.56505117 + 180 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$θ = 26.56505117 + 90 n$ , pour tout entier $n$