Trigonométrie Exemples

{sec}^{2} (θ) - 6 sec (θ) + 8 = 0

$\sec^{2} (θ) - 6 \sec (θ) + 8 = 0$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez

u = sec (θ)

$u = \sec (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de

sec (θ)

$\sec (θ)$ par

u

$u$ .

u^{2} - 6 u + 8 = 0

$u^{2} - 6 u + 8 = 0$

Étape 1.2

Factorisez

u^{2} - 6 u + 8

$u^{2} - 6 u + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.1

Étudiez la forme

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est

c

$c$ et dont la somme est

b

$b$ . Dans ce cas, dont le produit est

8

$8$ et dont la somme est

- 6

$- 6$ .

- 4, - 2

$- 4, - 2$

Étape 1.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

(u - 4) (u - 2) = 0

$(u - 4) (u - 2) = 0$

(u - 4) (u - 2) = 0

$(u - 4) (u - 2) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de

u

$u$ par

sec (θ)

$\sec (θ)$ .

(sec (θ) - 4) (sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

(sec (θ) - 4) (sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

sec (θ) - 2 = 0

$\sec (θ) - 2 = 0$

Étape 3

Définissez

sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ égal à

0

$0$ et résolvez

θ

$θ$ .

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Étape 3.1

Définissez

sec (θ) - 4

$\sec (θ) - 4$ égal à

0

$0$ .

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$

Étape 3.2

Résolvez

sec (θ) - 4 = 0

$\sec (θ) - 4 = 0$ pour

θ

$θ$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez

4

$4$ aux deux côtés de l’équation.

sec (θ) = 4

$\sec (θ) = 4$

Étape 3.2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

θ

$θ$ de l’intérieur de la sécante.

θ = arcsec (4)

$θ = arcsec (4)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Évaluez

arcsec (4)

$arcsec (4)$ .

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

θ = 75.52248781

$θ = 75.52248781$

Étape 3.2.4

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

360

$360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

θ = 360 - 75.52248781

$θ = 360 - 75.52248781$

Étape 3.2.5

Soustrayez

75.52248781

$75.52248781$ de

360

$360$ .

θ = 284.47751218

$θ = 284.47751218$

Étape 3.2.6

Déterminez la période de

sec (θ)

$\sec (θ)$ .

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Étape 3.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ .

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.2.6.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

Étape 3.2.6.4

Divisez

360

$360$ par

1

$1$ .

360

$360$

360

$360$

Étape 3.2.7

La période de la fonction

sec (θ)

$\sec (θ)$ est

360

$360$ si bien que les valeurs se répètent tous les

360

$360$ degrés dans les deux sens.

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , pour tout entier

n

$n$

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , pour tout entier

n

$n$

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 4

Définissez

sec (θ) - 2

$\sec (θ) - 2$ égal à

0

$0$ et résolvez

θ

$θ$ .

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Étape 4.1

Définissez

sec (θ) - 2

$\sec (θ) - 2$ égal à

0

$0$ .

sec (θ) - 2 = 0

$\sec (θ) - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez

sec (θ) - 2 = 0

$\sec (θ) - 2 = 0$ pour

θ

$θ$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez

2

$2$ aux deux côtés de l’équation.

sec (θ) = 2

$\sec (θ) = 2$

Étape 4.2.2

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

θ

$θ$ de l’intérieur de la sécante.

θ = arcsec (2)

$θ = arcsec (2)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de

arcsec (2)

$arcsec (2)$ est

60

$60$ .

θ = 60

$θ = 60$

θ = 60

$θ = 60$

Étape 4.2.4

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

360

$360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

θ = 360 - 60

$θ = 360 - 60$

Étape 4.2.5

Soustrayez

60

$60$ de

360

$360$ .

θ = 300

$θ = 300$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de

sec (θ)

$\sec (θ)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$ .

\frac{360}{| b |}

$\frac{360}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{360}{| 1 |}

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{360}{1}

$\frac{360}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez

360

$360$ par

1

$1$ .

360

$360$

360

$360$

Étape 4.2.7

La période de la fonction

sec (θ)

$\sec (θ)$ est

360

$360$ si bien que les valeurs se répètent tous les

360

$360$ degrés dans les deux sens.

θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier

n

$n$

θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier

n

$n$

θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

(sec (θ) - 4) (sec (θ) - 2) = 0

$(\sec (θ) - 4) (\sec (θ) - 2) = 0$ vraie.

θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n

$θ = 75.52248781 + 360 n, 284.47751218 + 360 n, 60 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier

n

$n$