Trigonométrie Exemples

$(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, 0)$ et $(- \frac{\sqrt{5}}{3}, - \frac{2}{3})$ .

Opposé : $- \frac{2}{3}$

Adjacent : $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{5}}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.3.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{5}{3^{2}} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + 1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.7

Multipliez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{4}{3^{2}}}$

Étape 2.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{9} + \frac{4}{9}}$

Étape 2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{5 + 4}{9}}$

Étape 2.11

Additionnez $5$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{9}}$

Étape 2.12

Divisez $9$ par $9$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.13

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{- \frac{2}{3}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{3}{2}))$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{3}{2}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = - \frac{3}{2} \approx - 1.5$