Trigonométrie Exemples

$\tan (θ) = 2 \sin (θ)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $\tan (θ) = 2 \sin (θ)$ par $\tan (θ)$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\tan (θ) = 2 \sin (θ)$ par $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (θ)$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Séparez les fractions.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 1.3.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 1.3.4

Écrivez $\sin (θ)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{2}{1} \cos (θ)$

Étape 1.3.6

Divisez $2$ par $1$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $2 \cos (θ) = 1$ .

$2 \cos (θ) = 1$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 \cos (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 \cos (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 4

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 6

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 7

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 7.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 7.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Étape 8

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 9

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$