Trigonométrie Exemples

$4 \csc^{2} (θ) - 25 = 0$

Étape 1

Ajoutez $25$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \csc^{2} (θ) = 25$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $4 \csc^{2} (θ) = 25$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 \csc^{2} (θ) = 25$ par $4$ .

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \csc^{2} (θ)}{4} = \frac{25}{4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\csc^{2} (θ)$ par $1$ .

$\csc^{2} (θ) = \frac{25}{4}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\csc (θ) = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{25}{4}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{25}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{4}}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\csc (θ) = \pm \frac{5}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (θ) = \frac{5}{2}, - \frac{5}{2}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\csc (θ) = \frac{5}{2}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{2}$

Étape 7

Résolvez $θ$ dans $\csc (θ) = \frac{5}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (\frac{5}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

Évaluez $arccsc (\frac{5}{2})$ .

$θ = 23.57817847$

Étape 7.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 23.57817847$

Étape 7.4

Soustrayez $23.57817847$ de $180$ .

$θ = 156.42182152$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 7.6

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $θ$ dans $\csc (θ) = - \frac{5}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (- \frac{5}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Évaluez $arccsc (- \frac{5}{2})$ .

$θ = - 23.57817847$

Étape 8.3

La fonction cosécante est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 + 23.57817847 + 180$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 23.57817847 + 180 °$ .

$θ = 360 + 23.57817847 + 180 ° - 360 °$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de $203.57817847 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 23.57817847 + 180$ .

$θ = 203.57817847 °$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 8.6

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez $360$ à $- 23.57817847$ pour déterminer l’angle positif.

$- 23.57817847 + 360$

Étape 8.6.2

Soustrayez $23.57817847$ de $360$ .

$336.42182152$

Étape 8.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 336.42182152$

Étape 8.7

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 23.57817847 + 360 n, 156.42182152 + 360 n, 203.57817847 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $23.57817847 + 360 n$ et $203.57817847 + 360 n$ en $23.57817847 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 360 n, 336.42182152 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $156.42182152 + 360 n$ et $336.42182152 + 360 n$ en $156.42182152 + 180 n$ .

$θ = 23.57817847 + 180 n, 156.42182152 + 180 n$ , pour tout entier $n$