Trigonométrie Exemples

$4 \sin^{2} (θ) = 3$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (θ) = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (θ) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin^{2} (θ)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (θ)$ par $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{3}{4}$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Résolvez $θ$ dans $\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $60$ .

$θ = 60$

Étape 6.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = 180 - 60$

Étape 6.4

Soustrayez $60$ de $180$ .

$θ = 120$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 6.6

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $θ$ dans $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- 60$ .

$θ = - 60$

Étape 7.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $360$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $180$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 360 + 60 + 180$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.4.1

Soustrayez $360 °$ de $360 + 60 + 180 °$ .

$θ = 360 + 60 + 180 ° - 360 °$

Étape 7.4.2

L’angle résultant de $240 °$ est positif, inférieur à $360 °$ et coterminal avec $360 + 60 + 180$ .

$θ = 240 °$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 7.6

Ajoutez $360$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.6.1

Ajoutez $360$ à $- 60$ pour déterminer l’angle positif.

$- 60 + 360$

Étape 7.6.2

Soustrayez $60$ de $360$ .

$300$

Étape 7.6.3

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = 300$

Étape 7.7

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$θ = 240 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 60 + 360 n, 120 + 360 n, 240 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les solutions.

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Étape 9.1

Consolidez $60 + 360 n$ et $240 + 360 n$ en $60 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 360 n, 300 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $120 + 360 n$ et $300 + 360 n$ en $120 + 180 n$ .

$θ = 60 + 180 n, 120 + 180 n$ , pour tout entier $n$