Trigonométrie Exemples

$1 - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{4} (x)$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 1$ et $b = - 2 \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2 \cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} {(\cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {(\cos^{2} (x))}^{2} + 1^{2}}$

Étape 4.3

Multipliez les exposants dans ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 {\cos (x)}^{2 \cdot 2} + 1^{2}}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1^{2}}$

Étape 4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})$

Étape 6

Remplacez les valeurs de $θ = \arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})$ et $| z | = \sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1}$ .

$\sqrt{4 \cos^{4} (x) + 1} (\cos (\arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})) + i \sin (\arctan (\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{1})))$