Trigonométrie Exemples

$\sin (x) \tan (x) + \cos (x) - \sec (x) + 1 = \sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 1

Commencez du côté gauche.

$\sin (x) \tan (x) + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Étape 2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Étape 2.1.2

Multipliez $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.1.2.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Étape 2.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Étape 2.1.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Étape 2.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Étape 2.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \sec (x) + 1$

Étape 2.1.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - \frac{1}{\cos (x)} + 1$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (x) + 1 + \frac{\sin^{2} (x) - 1}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.7

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{- (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\cos (x) + 1 + \frac{- \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (x)$ et $\cos (x)$ .

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Étape 2.9.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x)}$

Étape 2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.2.1

Multipliez par $1$ .

$\cos (x) + 1 + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) + 1 + \frac{\cos (x) (- \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1}$

Étape 2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) + 1 + \frac{- \cos (x)}{1}$

Étape 2.9.2.4

Divisez $- \cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) + 1 - \cos (x)$

Étape 2.10

Associez les termes opposés dans $\cos (x) + 1 - \cos (x)$ .

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Étape 2.10.1

Soustrayez $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$0 + 1$

Étape 2.10.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $\sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Étape 4

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\sin (x) \tan (x) + \cos (x) - \sec (x) + 1 = \sec^{2} (x) \cos^{2} (x)$ est une identité